수업은 선생님의 일방적인 강의식 수업이 아니고 학생 스스로 문제를 만들어 내어 발표하고 함께 토론하는 방식으로 진행하였는데 어느 날 두 남학생의 발표 내용이 특이하고 재치 있는 문제라서 소개해 보기로 한다.
발표한 A군과 B군은 물론 상대방의 가족사항을 전혀 모르는 상태에서의 대화이며 대화내용은 다음과 같다.
“A : ‘너의 집에 같이 살고 있는 형이나 동생은 몇 명이며 각각의 나이는?’
B : ‘3명이고, 3명의 나이를 곱하면 36이고 더하면 내가 가지고 있는 구슬의 개수와 같아’
A는 B가 가지고 있는 구슬의 개수를 확인하고 다시 말했다.
A : ‘그것만으로는 부족해’
B : ‘막내는 요즘 잠자는 시간이 많아’
A : ‘아, 그럼 알겠어’이다”
이제 A가 어떤 풀이 과정을 거쳐 3명의 나이를 알게 되었는지 살펴보자.
[필자해설] : <1단계> 먼저 3명의 나이를 곱하여 36이 나오는 경우를 모두 조사해 보면 (1, 1, 36), (1, 2, 18), (1, 3, 12), (1, 4, 9), (1, 6, 6), (2, 2, 9), (2, 3, 6), (3, 3, 4)으로 8가지이다. 다음으로 8가지 경우에 따른 각각의 나이의 합을 차례로 구해보면 (1, 1, 36)인 경우는 1+1+36 = 38이고, (1, 2, 18)인 경우는 1+2+18 = 21이다. 이와 같은 방법으로 차례로 계산하여 나열하면 16, 14, 13, 13, 11, 10이다.
<2단계> 필자는 모르지만 A는 구슬의 개수를 확인하여 알고 있다. 그러므로 만약 A가 확인한 구슬의 개수가 38, 21, 16, 14, 11, 10중에 어느 하나였다면 더 이상의 질문이 필요하지 않았을 것이다. 왜냐하면 6가지 경우는 각각의 합의 값이 서로 다르기 때문이다.
예를 들어 보충 설명하면 나이의 합이 38이었다면, (1, 1, 36)인 경우뿐이므로 이것이 확정되어 세 명의 나이는 한 살배기 쌍둥이와, 36살이 정답이 된다. 그런데 ‘그것만으로는 부족해’라는 것은 세 명의 나이의 합이 같은 경우가 둘 이상이어서 아직까지 결정 지울 수 없음을 의미한다. 즉 곱하여 36이 되고 합한 값이 13이 되는 경우가 (1, 6, 6), (2, 2, 9)으로 2가지가 있다.
<3단계> 이제 정답은 (1, 6, 6)=(한 살, 6살배기 쌍둥이)이거나 (2, 2, 9)=(두 살배기 쌍둥이, 9살)이다. 그런데 ‘막내는 요즘 잠자는 시간이 많아.’라는 말의 뜻은 막내는 쌍둥이가 아님을 뜻하므로 (1, 6, 6)인 경우가 정답이다. 다시 말해 정답은 막내가 한 살이고 둘은 6살배기 쌍둥이다.
그런데 여기서 정답에 의문을 제기하는 독자가 있을 것 같아 보충 설명을 해 볼까 한다.
아직 들어보지는 못했지만 1월에 아이를 낳고 곧장 임신하여 12월에 아이를 낳아 나이는 같으나 쌍둥이가 아닌 경우가 있을 수 있다. 만약 이런 경우라면 (2, 2, 9)에서 같은 나이 2살 중에서 12월에 태어난 애가 막내가 되어 현재의 대화만으로는 정답을 하나로 정할 수 없다.
그러므로 정답이 (1, 6, 6)이 되려면 문제 속에 ‘나이가 같은 경우는 쌍둥이라 부른다’라는 조건이 있어야 할 것으로 생각한다.
독자에게는 두 학생의 대화 내용 중 어느 분야를 어떻게 바꾸면 완벽한 문제가 될까? 잠시 생각하는 시간을 가져 주기를 기대한다.
이와 같이 세심한 관찰력을 가지고 문제의 모순점을 찾아내는 능력을 기르는 것은 수학 실력을 한 단계 업그레이드하는데 큰 도움을 줄 것이다.
